2013湖北高考数学文科

选择题

第 1 题

1．已知全集

U = {1, 2, 3, 4, 5}

，集合

A = {1, 2}

，

B = {2, 3, 4}

，则

B \cap ∁_{U} A =

（　）

A．

{2}

B．

{3, 4}

C．

{1, 4, 5}

D．

{2, 3, 4, 5}

第 2 题

2．已知

0 < θ < \frac{π}{4}

，则双曲线

C_{1}

：

\frac{x^{2}}{s i n^{2} θ} - \frac{y^{2}}{c o s^{2} θ} = 1

与

C_{2}

：

\frac{y^{2}}{c o s^{2} θ} - \frac{x^{2}}{s i n^{2} θ} = 1

的（　）

A．实轴长相等

B．虚轴长相等

C．离心率相等

D．焦距相等

第 3 题

3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　）

A．

(\neg p)

∨

(\neg q)

B．

p

∨

(\neg q)

C．

(\neg p)

∧

(\neg q)

D．

p

∨

q

第 4 题

4．四名同学根据各自的样本数据研究变量

x, y

之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且

\hat{y} = 2.347 x - 6.423

； ② y与x负相关且

\hat{y} = - 3.476 x + 5.648

； ③ y与x正相关且

\hat{y} = 5.437 x + 8.493

； ④ y与x正相关且

\hat{y} = - 4.326 x - 4.578

.其中一定不正确的结论的序号是（　）

A．①②

B．②③

C．③④

D． ①④

第 6 题

6．将函数

y = \sqrt{3} c o s x + s i n x (x \in R)

的图象向左平移

m (m > 0)

个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　）

A．

\frac{π}{12}

B．

\frac{π}{6}

C．

\frac{π}{3}

D．

\frac{5 π}{6}

第 7 题

7．已知点

A (- 1, 1)

、

B (1, 2)

、

C (- 2, - 1)

、

D (3, 4)

，则向量

\vec{A B}

在

\vec{C D}

方向上的投影为（　）

A．

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

B．

\frac{3 \sqrt{15}}{2}

C．

- \frac{3 \sqrt{2}}{2}

D．

- \frac{3 \sqrt{15}}{2}

第 8 题

8．x为实数，

[x]

表示不超过

x

的最大整数，则函数

f (x) = x - [x]

在

R

上为（　）

A．奇函数

B．偶函数

C．增函数

D．周期函数

第 9 题

9．某旅行社租用

A

、

B

两种型号的客车安排900名客人旅行，

A

、

B

两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且

B

型车不多于

A

型车7辆．则租金最少为（　）

A．31200元

B．36000元

C．36800元

D．38400元

第 10 题

10．已知函数

f (x) = x (l n x - a x)

有两个极值点，则实数

a

的取值范围是（　）

A．

(- \infty, 0)

B．

(0, \frac{1}{2})

C．

(0, 1)

D．

(0, + \infty)

填空题

第 12 题

12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为　　　　；（Ⅱ）命中环数的标准差为　　　　.

第 14 题

14．已知圆

O

：

x^{2} + y^{2} = 5

，直线

l

：

x c o s θ + y s i n θ = 1

（

0 < θ < \frac{π}{2}

）.设圆

O

上到直线

l

的距离等于1的点的个数为

k

，则

k =

第 15 题

15．在区间

[- 2, 4]

上随机地取一个数x，若x满足

| x | \leq m

的概率为

\frac{5}{6}

，则

m =

第 16 题

16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　　　　寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

解答题

第 18 题

18．（本小题满分12分）在△

A B C

中，角

A

，

B

，

C

对应的边分别是

a

，

b

，

c

. 已知

c o s 2 A - 3 c o s (B + C) = 1

.（

Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若△

A B C

的面积

S = 5 \sqrt{3}

，

b = 5

，求

s i n B s i n C

的值.

第 19 题

19．（本小题满分13分）已知

S_{n}

是等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和，

S_{4}

，

S_{2}

，

S_{3}

成等差数列，且

a_{2} + a_{3} + a_{4} = - 18

.（Ⅰ）求数列

{a_{n}}

的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数

n

，使得

S_{n} \geq 2013

？若存在，求出符合条件的所有

n

的集合；若不存在，说明理由．

第 21 题

21．（本小题满分13分）设

a > 0

，

b > 0

，已知函数

f (x) = \frac{a x + b}{x + 1}

.（Ⅰ）当

a \neq b

时，讨论函数

f (x)

的单调性；（Ⅱ）当

x > 0

时，称

f (x)

为

a

、

b

关于

x

的加权平均数.（i）判断

f (1)

f (\sqrt{\frac{b}{a}})

f (\frac{b}{a})

是否成等比数列，并证明

f (\frac{b}{a}) \leq f (\sqrt{\frac{b}{a}})

；（ii）

a

、

b

的几何平均数记为G. 称

\frac{2 a b}{a + b}

为

a

、

b

的调和平均数，记为H. 若

H \leq f (x) \leq G

，求

x

的取值范围.

第 22 题

22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆

C_{1}

与

C_{2}

的中心在坐标原点

O

，长轴均为

M N

且在

x

轴上，短轴长分别为

2 m

，

2 n (m > n)

，过原点且不与

x

轴重合的直线

l

与

C_{1}

，

C_{2}

的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记

λ = \frac{m}{n}

，△

B D M

和△

A B N

的面积分别为

S_{1}

和

S_{2}

（Ⅰ）当直线

l

与

y

轴重合时，若

S_{1} = λ S_{2}

，求

λ

的值；

（Ⅱ）当

λ

变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得

S_{1} = λ S_{2}

？并说明理由．