2026年高考全国2卷数学

选择题

第 1 题

{(1 - 3 i)}^{2} =

（）

- 8 + 6 i

- 8 - 6 i

8 + 6 i

8 - 6 i

第 2 题

2. 已知集合

A = {0, 1, 3, 6, 9}

，

B = {x | \sqrt{x} = x}

，则

A \cap B =

（）

{0, 1}

{3, 6}

{0, 1, 9}

{0, 3, 9}

第 3 题

3. 已知

| \vec{a} + \vec{b} | = 1

，

| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}

，则

\vec{a} \cdot \vec{b} =

（）

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

- \frac{1}{2}

第 4 题

4. 已知双曲线

C

：

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

（

a > 0

，

b > 0

）过点

(1, 0)

和

(\frac{\sqrt{7}}{2}, 3)

，则双曲线C的渐近线方程是（）

y = \pm 3 \sqrt{2} x

y = \pm 2 \sqrt{3} x

y = \pm \frac{\sqrt{3}}{6} x

y = \pm \frac{\sqrt{2}}{6} x

第 5 题

5. 已知棱台的上下底面均为有一个角为

60 °

的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为

\sqrt{3}

，则该棱台的体积为（）

\frac{19}{12}

\frac{19}{6}

\frac{19}{4}

\frac{19}{2}

第 6 题

6. 现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（）

A. 10种

B. 12种

C. 16种

D. 24种

第 7 题

7. 已知

α

为第二象限角，且

3 s i n 2 α c o s α = 8 s i n α c o s 2 α

，则

\frac{1 + s i n α}{2 - c o s α} =

（）

\frac{3}{4}

\frac{3}{5}

\frac{1}{2}

\frac{15}{12}

第 8 题

8. 已知函数

f (x)

为偶函数，且满足

f (x) + f (x - 2) = 0

，且当

x \in [\frac{3}{2}, 3]

时，

f (x) = x^{2} + a x + b

，则（）

a = - 2

，

b = - 3

a = - 2

，

b = 3

a = - 4

，

b = - 3

a = - 4

，

b = 3

第 10 题

10. 已知等比数列

{a_{n}}

的公比

q \neq 1

，且

a_{1} > 0

，

2 a_{3} = a_{1} + a_{2}

，记数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

，则（）

q = - \frac{1}{2}

S_{n} > \frac{2}{3} a_{1}

2 S_{n + 2} = S_{n + 1} + S_{n}

S_{1} + S_{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{n} > \frac{2 n}{3} a_{1}

第 11 题

11. 已知抛物线

E

：

y^{2} = 8 x

，有一斜率为

k (k > 0)

的直线

l

过点

(- 1, 0)

，点A在抛物线E上，

B

C

两点在直线

l

上，且

△ A B C

为等边三角形，则（）

A. 抛物线E的准线方程为

x = - 2

B. 当直线

l

与抛物线E无交点时，

k > \sqrt{2}

C. 若直线

l

与抛物线

E

相交于唯一一点

B

，则抛物线E的焦点在直线

A B

上

D. 当

k = 2

时，

△ A B C

面积的最小值为

\frac{\sqrt{3}}{15}

填空题

第 12 题

12. 设

S_{n}

为等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和，若

a_{1} = - 1

，

a_{4} = 5

，则

S_{6} =

__________．

第 13 题

13. 若函数

f (x) = 2^{x} + 2^{2 - x} - m

有两个零点，则

m

的取值范围是__________．

第 14 题

14. 已知球

O

的体积为

V_{0} = 4 \sqrt{3} π

，点A，B，C，D均在球表面上，若

△ A B C

为正三角形，且

D A = D B = D C = \sqrt{2}

，则

S_{△ A B C} =

__________．

解答题

第 15 题

15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：题目图形

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设

\hat{p}

为首次故障时间小于365天的概率估计值．（ⅰ）求

\hat{p}

；（ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若

X ~ B

，求

E (X)

和

D (X)

．

第 16 题

16. 如图，在三棱锥

A - B C D

中，点

E

在

B D

上，

A E ⊥ C E

，

A E ⊥ D E

，

C D ⊥ A D

．

（1）求证：

C D ⊥ A B

；

（2）若

D E = 2

，

B E = 1

，

A E = \sqrt{2}

，

C D = 2 \sqrt{3}

．求直线

A D

与平面

A B C

所成角的正弦值．

第 17 题

17. 在

△ A B C

中，已知

c o s B = \frac{3}{4}

，

c o s^{2} (A + C) + s i n A s i n C = 1

．

（1）证明：

△ A B C

为钝角三角形；

（2）若

△ A B C

的面积为

\frac{\sqrt{7}}{4}

，求

△ A B C

的周长．

第 18 题

18. 椭圆

E

：

\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1

（

a > 1

），过右焦点且与

x

轴垂直的直线被

E

截得的长度为

\sqrt{2}

．

（1）求

E

的离心率．

（2）

O

为坐标原点，给定点

G (t_{0}, 0) (t_{0} \neq 0)

，

A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)

在

E

上，过点

A

作

y

轴的垂线，垂足为

B

，

A O

与

G B

交于点

P

．当

A

在

E

上运动时，

P

的轨迹为

M

．（ⅰ）求

M

的方程，并说明M是什么曲线；（ⅱ）

M

是否有中心点？当

t_{0}

为何值时，

M

有中心点？当

M

有中心点时，平移

M

到

M^{'}

，使

O

为

M^{'}

的中心点，说明

M^{'}

的形状.

第 19 题

19. 已知函数

f (x) = x e^{x} + a x + b

，曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处的切线为

y = - 2 x + 1

．

（1）求

a

，

b

；

（2）当

x > 0

时，

f (x + m) - f (x) > m

，求

m

的取值范围；

（3）当

x > 0

时，

f (x + k) + f (k - x) > 2 f (k)

，求

k

的最小值．